Инженерные расчёты зубчатых колес с помощью T-FLEX Анализ интегрированной среды с T-FLEX CAD

Автор: Александр Петрович Иващенко, к. т. н., доцент кафедры «Естественно-научные дисциплины» КТИ (филиала) ВолгГТУ

На этапе проектирования изделия, разрабатываемая конструкция должна отвечать определенным критериям работоспособности. Работоспособность – состояние, при котором изделие способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными нормативно-технической документацией. Одним из ключевых параметров является прочность. При нарушении прочности в изделиях возникают недопустимо большие остаточные деформации, поверхностные разрушения или преждевременные поломки. На сегодняшний момент актуальна задача прогнозирования поведения конструкции при заданных нагружениях, предупреждения и дальнейшего исключения мест, имеющих недостаточный, либо излишний запас прочности, а также стремление разработать равнопрочную конструкцию. Данная задача решается на этапе инженерного расчета, который может выполняться аналитическими или численными методами. Зачастую в сложных расчетах эти методы тесно переплетаются друг с другом. Например, первый этап – аналитическая оценка действующей нагрузки, мест ее приложения, второй этап – использование численных методов для оценки прочности и других параметров изделия, третий этап – анализ полученных результатов. Лидирующий метод численного решения – метод конечных элементов (МКЭ), универсальное решение, охватывающее широкий круг прикладных задач с хорошей численной устойчивостью МКЭ алгоритмов.

Работа конструктора – процесс творческий, с одной стороны проектируемое изделие должно отвечать критериям работоспособности, с другой стороны иметь невысокую себестоимость и минимальные издержки в производстве. Поиск такого баланса можно сопоставить с работой ювелира по огранке драгоценного камня, поэтому на помощь конструктору в решении современных сложных задач приходят CAD/CAE системы, позволяющие снизить трудозатраты, повысить эффективность, а в некоторых случаях полностью упростить однотипные, рутинные операции. Причем в таких системах можно совместить этапы разработки конструкторской документации и инженерных расчетов без привлечения сторонних помощников или организаций.

Большинство изделий в своем составе содержат передаточные механизмы, которые могут состоять из зубчатых передач и других элементов. Одна из задач проектирования зубчатой передачи – поиск рациональной конструкции колес. Используя конструктором только CAD системы, решить такую задачу в полной мере затруднительно. При разработке конструкции колеса или более сложного изделия – вала-шестерни необходимо руководствоваться различными нормативными документами по расчету геометрии, оценки статической прочности, усталостной выносливости и прочих требований. Совместное использование CAD/CAE систем позволяет конструктору на этапе проектирования дополнительно проводить оценку работоспособности колес по критерию прочности, так как прочность зуба и колеса в целом влияет на надежность и долговечность узла механизма, что в свою очередь снижает время на поиск рационального решения.

Одной из таких CAD/CAE систем, представленных на российском рынке, является программное обеспечение от компании «Топ Системы». Используя T-FLEX CAD при конструировании зубчатых передач, конструктору представляется широкий набор средств проектирования, расчета и анализа их геометрии, оформления конструкторской документации в соответствии с ЕСКД. Применяя интегрированную среду в T-FLEX CAD – T-FLEX Анализ (статический анализ) у конструктора на этапе проектного расчета появляется возможность произвести оценку статической прочности по относительным эквивалентным напряжениям с целью минимизаций ошибок проектирования или поиска конструкции, обладающей минимальной массой при достаточной прочности.

В статье приведен способ оценки статической прочности с помощью T-FLEX Анализ зубчатой передачи и ее элементов (колесо и вал-шестерня). В основу способа положен метод [1] в котором контакт сопряженных зубьев рассматривается как сжатие двух цилиндров (рис. 1) под действием удельной нормальной силы ω с радиусами кривизны сопряженных поверхностей ρ₁ и ρ₂ по площадке в среднем шириной 2a.

Рис. 1. Модель контактирующей пары зубьев по методу [1]

Например, такой метод использовался в статье [2], где авторами произведена оценка напряжений по критерию Мизеса прямозубой шестерни из стали 20ХН3А тягового редуктора локомотива в программах инженерного анализа по выделенной площадке контакта на боковой поверхности зуба в момент трогания локомотива. В статье [3] также с помощью пакета программ инженерного анализа проведен анализ прочности по критерию Мизеса для косозубой шестерни планетарного редуктора в квазистатических условиях. В работах [4, 5, 6] авторы приводят еще один возможный способ оценки прочности зубчатых передач и ее элементов при помощи CAE- систем.

Рассчитываемая цилиндрическая прямозубая зубчатая передача состоит из двух элементов – вал-шестерня (рис. 2а) и колесо (рис. 2б). Параметры передачи: модуль m = 4 мм; число зубьев шестерни z₁ = 19 шт., колеса z₂ = 81 шт.; ширина шестерни b_w1=72 мм; ширина колеса b_w2=67 мм; межосевое расстояние a_w = 200 мм; окружное усилие в зацеплении F_t = 4018,5 Н.

Рис. 2. Эскизы вала-шестерни и колеса цилиндрической прямозубой зубчатой передачи

Материал колес – сталь конструкционная легированная марки 40ХН, твердость 200–240 HB, предел текучести σ_Т=570 МПа, предел прочности σ_В=780 МПа, модуль упругости первого рода E=2∙10⁵ МПа, коэффициент Пуассона μ=0,3.

Рассматривается контакт сопряженных зубьев для однопарного зацепления в данный момент времени (рис. 3).

Рис. 3. Сопряженная пара зубьев

По информации в литературе [1, 7] получены формулы (1–3), используемые в расчётах прямозубого внешнего эвольвентного цилиндрического зацепления. Для расчета косозубого внешнего эвольвентного цилиндрического зацепления необходимо использовать формулы, приведенные в [8, 9].

Полное нормальное усилие

F_n=(F_t∙K)⁄(cosα_tw )=6113,84 Н, (1)

где K=K_А∙K_Hα∙K_Hβ∙K_HV – коэффициент расчетной нагрузки, К = 1,42967 и α_tw по [7].

Удельная нормальная сила для прямозубого зацепления с одной контактирующей парой зубьев

ω=F_n⁄b_w2 =91,251 Н⁄мм. (2)

Полуширина плоскости контакта

a=1,52∙√((ω∙m∙sinα_tw ∙z₁∙z₂)/(2∙E∙(z₁+z₂ ) ))=0,1053 мм. (3)

T-FLEX Анализ позволяет решать задачи на основе одного или нескольких твердых тел. В статье исследуются задачи статической прочности по отдельному нагружению вала-шестерни и колеса, а также контактная задача, в которой рассматривается контакт зубьев передачи с двумя телами (рис. 3). При решении первой группы задач по нагружению одного тела проделаны дополнительные операции как у шестерни, так и у колеса: с помощью вспомогательных поверхностей и команды «Разделение граней» в зоне начальной поверхности была выделена на боковой грани контактирующего зуба область шириной 2a и длиной равной ширине венца колеса. Это позволило приложить действующую нагрузку F_n нормально к выделенной поверхности в полюсе зацепления. При решении контактной задачи аналогичным образом на боковой поверхности контактирующего зуба колеса получена линия, проходящая через полюс зацепления. С помощью команды «Сопряжение» было организовано касание боковой поверхности контактирующего зуба шестерни и выделенной линии на зубе колеса. Также были заданы другие сопряжения, ограничивающие перемещение тел относительно друг друга, таким образом, чтобы колеса имели возможность вращения вокруг своих осей, без нарушения зацепления в зоне выделенного контакта зубьев, что позволило организовать однопарный контакт зубьев колеса и шестерни. Нагрузка была приложена к выходному концу вала-шестерни по цилиндрической поверхности диаметром 36 мм (рис. 2а) в виде вращающего момента с учетом коэффициента расчетной нагрузки.

На следующем этапе произведено построение тетраэдральной конечно-элементной сетки с помощью линейных четырехузловых элементов. В местах, где предполагаются большие градиенты напряжений, а также в местах плавных переходов поверхностей, сетка более мелкая. На рис. 4 и 5 приведено изображение сетки на исследуемых элементах и передачи в целом.

Число объемных конечных элементов: вал-шестерня – 2,66 млн. (рис. 4а); колесо – 7,3 млн. (рис. 4б); контактная задача – 1,05 млн. (рис. 5).

Рис. 4. Сеточная конечно-элементная модель вала-шестерни и колеса

Рис. 5. Сеточная конечно-элементная модель зубчатой передачи

Для поверхностей использованы ограничения по перемещениям двух типов: полное закрепление и частичное закрепление в цилиндрической системе координат с ограничением движения в радиальном направлении и по оси вращения. При решении первой группы задач: для вала-шестерни (рис. 2а и 6) применено полное закрепление – поверхность диаметром 36 мм, включая боковые грани шпоночного паза, частичное – две поверхности диаметром 45 мм (цапфы вала); для колеса (рис. 2б и 7) применено полное закрепление – посадочная поверхность диаметром 65 мм, включая боковые грани шпоночного паза, частичное – две торцевые поверхности ступицы колеса. Для контактной задачи (рис. 8): полное закрепление – посадочная поверхность колеса, с учетом боковых граней шпоночного паза; частичное – торцевые поверхности ступицы колеса и цапфы вала.

Произведен в T-FLEX Анализ конечно-элементный расчет статической прочности вала-шестерни, колеса и передачи в целом на основе их объёмных конструкций, где твердотельные модели построены в T-FLEX CAD. Определены относительные эквивалентные напряжения σ_экв, которые вычислялись из компонентов тензора напряжений согласно IV теории прочности [10]. Получена картина распределения напряжений: вал-шестерня (рис. 6) – σ_экв^мах=322,9 МПа, колесо зубчатое (рис. 7) – σ_экв^мах=318,1 МПа, передача зубчатая (рис. 8) – σ_экв^мах=322,6 МПа.

Рис. 6. Распределение относительных эквивалентный напряжений в вале-шестерни

Рис. 7. Распределение относительных эквивалентный напряжений в колесе зубчатом

Рис. 8. Распределение относительных эквивалентный напряжений в передаче зубчатой

Зуб шестерни (рис. 6) имеет более высокую интенсивность значений напряжений, чем зуб колеса (рис. 7) при одинаковой нагрузке F_n. Рассматривая картину распределения напряжений в контактной задаче (рис. 8) – такой эффект тоже можно наблюдать. Контактные задачи удобнее применять если необходимо рассмотреть работу передачи в целом, но ресурсные затраты вычислительной техники увеличиваются. Решение задачи по нагружению только одного элемента (шестерни или колеса) эффективно с точки зрения экономии времени, причем порядок значений напряжений сопоставим с результатами решения контактной задачи двух тел. С точки зрения наложения граничных условий, контактная задача более рациональна. С учетом некоторых идеализированных условий решения задачи, при которых не рассматривались погрешности изготовления и неточности монтажа, возможные деформации вала с перекосом осей в процессе работы передачи, использовался однородный и изотропный материал, допустимо применение нагружения только одного элемента из двух в передаче.

Определен запас статической прочности по эквивалентным напряжениям относительно допускаемых напряжений, то есть напряжений предела текучести для выбранного материала. Получено, что для вала-шестерни запас составил 1,765 (рис. 9), для колеса – 1,792 (рис. 10). Минимально допустимый запас – 1,1.

В [8, 9] произведены расчеты вала-шестерни и колеса с косозубым внешним эвольвентным цилиндрическим зацеплением с помощью модуля T-FLEX Анализ. Получены аналогичные данные: шестерня (z₁ = 24 шт.) – σ_экв^мах=456,1 МПа, колесо (z₁ = 98 шт.) – σ_экв^мах=367,6 МПа, предел текучести стали марки 50 – σ_т=530 МПа, модуль m_n = 4 мм, ширина колеса b_w=100 мм, полное нормальное усилие F_n= 20649,92 Н. Запас прочности по шестерне составил 1,162.

Рис. 9. Запас статической прочности вала-шестерни

Рис. 10. Запас статической прочности колеса зубчатого

Также оценены перемещения в зацеплении зубчатых колес (рис. 11), максимальные перемещения составили 0,05219 мм.

Применение одного из двух методов расчета статической прочности на этапе проектных работ помогает конструктору увидеть наиболее нагруженные места, минимизировать ошибки проектирования и снизить трудозатраты, более рационально подойти к конструированию. Также использование модуля T-FLEX Анализ, встроенного в T-FLEX CAD, позволяет ему произвести полный комплекс всех необходимых расчетов прочности, а также спроектировать надежный узел с минимальными массово-экономическими затратами в производстве и эксплуатации.

Рис. 11. Перемещения в зубчатой передаче под действием нагрузки

Для автоматизации процесса построения моделей зубчатых колес используйте новое приложение — T-FLEX Зубчатые передачи

Список литературы

1. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник / 4-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1993. 639 с.
2. Вельгодская Т. В., Иванов В. В., Гаджиев И. А. Анализ напряженно-деформированного состояния шестерни тягового редуктора локомотива 2ТЭ10Л // Международный научно-исследовательский журнал. 2012. №5 (5). С. 82-85.
3. Mihailidis A., Korbetis G., Drivakos N., Nerantzis I. Finite Element Method Based Analysis of Planetary Gear Systems Considering Backlash and Manufacturing Deviations. Power Transmission Engineering. June 2018. Р. 46-50.
4. Смагулова А.С., Кияшова А.М. Расчет зубчатых передач с применением конечно-элементного анализа в рамках пакета ANSYS WB // Наука и техника Казахстана. 2018. №3. С. 39-47.
5. Петренко А.Ф., Бурлакова Д.Е., Савенков В.Н. Напряженное состояние колес зубчатых передач в зоне контакта зубьев // Материалы научной конференции студентов, молодых ученых и преподавателей. 2010. Ч.1. [Электронный ресурс]. URL: masters.donntu.org/2013/fmf/burlakova/library/ (дата обращения: 20.02.2021)
6. Каратушин С.И., Бильдюк Н.А., Плешанова Ю.А., Бокучава П.Н. Проверочный силовой расчет в ANSYS зубчатого зацепления // Известия высших технических заведений. Машиностроение. 2015. № 3 (660). С. 27-34.
7. ГОСТ 21354–87. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчет на прочность. М.: Изд-во стандартов, 1993. 130 с.
8. Иващенко А.П. Исследование статической прочности косозубого цилиндрического зубчатого колеса // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 10. С. 51-56. [Электронный ресурс]. URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=38254 (дата обращения: 20.02.2021).
9. Иващенко А.П. Исследование статической прочности шестерни, входящей в состав вала-шестерни // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 11-1. С. 31-36. [Электронный ресурс]. URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=38334 (дата обращения: 20.02.2021).
10. T-FLEX CAD Анализ. 2021. [Электронный ресурс]. URL: http://www.tflex.ru/products/raschet/analiz/ (дата обращения 20.02.2021).

Дополнительно